1 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:19:51.097 ID:e5WJKFW5M
∀x,y,z>0,
Σ_cyc (1+xy+yz)/(1+y+z)² ≧ 1
2 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:20:07.935 ID:e5WJKFW5M
まずはこれを様々な方法で示す
3 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:20:42.637 ID:s2pq0oh20
>>1
そんなことより風呂作れ
6 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:21:40.891 ID:e5WJKFW5M
方法①: 項別AM-GM
(1+xy+yz)/(1+y+z)² ≧ xⁿ/(xⁿ+yⁿ+zⁿ)
なるnを見つける。
17 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:30:40.842 ID:e5WJKFW5M
>>6の続き
xⁿ+yⁿ+zⁿ+xⁿ⁺¹y+xyⁿ⁺¹
+xyzⁿ⁺¹+xⁿyz+yⁿ⁺¹z+yzⁿ⁺¹
≧ xⁿ(1+y²+z²+2y+2z+2yz)
打ち込むの面倒すぎる
23 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:41:08.351 ID:e5WJKFW5M
>>6の続き2
AM-GMで上の不等式が証明できると仮定する
nの満たすべき条件は、xの係数×指数の和が一定なので
3n+3=6n
∴ n=1
つまり示すべきは
x+y+z+x²y+xy²+xyz²+xyz+y²z+yz²
≧ x+xy²+xz²+2xy+2xz+2xyz
整理して、
y+z+x²y+xyz²+y²z+yz²
≧ xz²+2xy+2xz+xyz
40 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:56:17.723 ID:e5WJKFW5M
>>6の続き3
上述の不等式は証明不可能 (右辺のxzを左辺の項からは作り出せない)
よって置き方を変える必要がある
(1+xy+yz)/(1+y+z)² ≧ yⁿ / (xⁿ+yⁿ+zⁿ)は示せなさそう…
どうするか
47 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:00:01.921 ID:ULVOCkwv0
>>40
AM–GMで項を対応させる型ではなく
差を取って平方完成する型
xz を作ろうとした時点で
アプローチがズレている
50 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:02:54.753 ID:e5WJKFW5M
>>47
教科書チラッとみたらAM-GMでも行けそうな雰囲気なんだ
恐らく差を取って平方完成はキレイな部類の解法やな
57 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:14:08.421 ID:e5WJKFW5M
>>6の問題間違えてたｗｗｗ
ただしくは
Σ_cyc (1+xy+xz)/(1+y+z)² ≧ 1
だった…そりゃ解けないわけだわ
62 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:22:19.938 ID:e5WJKFW5M
>>57を改めて解く
(1+xy+xz)/(1+y+z)² ≧ xⁿ/(xⁿ+yⁿ+zⁿ)
nの検討をつける
xの係数×指数に注目すれば
2(n+3)+n=9
∴ n=1
yについても見ると
n+3+n+n=2+2+2
∴ n=1
n=1の場合について示せそう
64 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:28:50.154 ID:e5WJKFW5M
>>57(1+xy+xz)/(1+y+z)² ≧ x/(x+y+z)
展開すると
x+y+z+x²y+xy²+xyz+x²z+xyz+xz²
≧ x+xy²+xz²+2xy+2xz+2xyz
整理すると
y+z+x²y+x²z≧2xy+2xz
めっちゃ因数分解できそう
(y+z)(1+x²-2x)≧0
これは自明
以上より、
Σ_cyc (1+xy+xz)/(1+y+z)²
≧ Σ_cyc x/(x+y+z)
=1 ◻
8 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:22:31.150 ID:NN97O6kI0
こんなとこで勉強（笑）してるよりノートに書いたほうが効率いいよ
10 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:25:02.281 ID:e5WJKFW5M
>>8
いまバス乗ってて暇なんだ
13 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:26:18.654 ID:U1s3ZYBgr
>>10
前みろ事故るぞ
15 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:26:34.909 ID:e5WJKFW5M
>>13
運転手じゃねぇよ！
9 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:24:14.328 ID:qe//2fFP0
展開すると∑(1+y+z+xy+xyz+yz+xyz+yz2)でThe教科書って感じ
12 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:25:20.193 ID:e5WJKFW5M
>>9
ノート使いてぇ
11 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:25:18.543 ID:1iphjP+t0
import pulp
import numpy as np
def expr(x, y, z):
return (
(1 + x*y + y*z) / (1 + y + z)**2 +
(1 + y*z + z*x) / (1 + z + x)**2 +
(1 + z*x + x*y) / (1 + x + y)**2
)
values = np.linspace(0.1, 3, 40)
min_val = float(“inf”)
min_point = None
for x in values:
for y in values:
for z in values:
val = expr(x, y, z)
if val < min_val:
min_val = val
min_point = (x, y, z)
print(“Minimum value ≈”, min_val)
print(“At point:”, min_point)
14 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:26:20.306 ID:e5WJKFW5M
>>11
数値解析じゃ証明にはならん
16 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:28:50.966 ID:U1s3ZYBgr
高校に向かってんのか？
18 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:31:54.870 ID:e5WJKFW5M
>>16
スキーに行く
大学卒業前の休み期間だわ
19 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:33:25.370 ID:U1s3ZYBgr
>>18
友達ととか言ったたシャベルで殴り56す
20 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:33:45.816 ID:e5WJKFW5M
>>19
大丈夫父親とだ
22 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:34:17.463 ID:U1s3ZYBgr
>>20
よかったよかった
29 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:46:34.210 ID:45Ty+hmwd
>>20
お前は友達彼女がいない陰キャ
Q.E.D.
33 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:47:52.743 ID:e5WJKFW5M
>>29
あたり
35 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:49:02.206 ID:U1s3ZYBgr
>>29
そうだそうだ、そうに決まってる
21 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:33:53.075 ID:9ayIlB0R0
中卒だからどの記号がどういう意味なのかサッパリわからん
25 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:42:31.141 ID:e5WJKFW5M
>>21
>>1の記号は普通の数学でもあんま一般的じゃないから大丈夫
Σ_cycは文字を円形に入れ替えて足すって意味や
24 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:42:04.452 ID:U1s3ZYBgr
なにこれ、なんも変わってなくね
26 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:43:26.055 ID:e5WJKFW5M
>>24
ちょっとずつ証明を進めてる
いま示すべき不等式を単純化している
27 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:43:46.604 ID:YQj1Z4Tk0
不等式と言えばチェビシェフ
30 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:46:50.298 ID:e5WJKFW5M
>>27
チェビシェフは使い所があんまない…
34 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:48:40.834 ID:lfM4/ec+0
>>30
じゃコーシーシュワルツ
37 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:50:47.025 ID:e5WJKFW5M
>>34
コーシーシュワルツの一般化であるヘルダーの不等式くんは強そうに見えて意外と得られる結果がザコで困る
28 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:44:16.924 ID:0ycGlja50
Σ使いとか数学オタクかようおw
32 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:47:32.873 ID:e5WJKFW5M
>>28
数学好きなのに大学数学は線形代数と微積しか知らないお
31 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:47:02.879 ID:9qpojqhn0
AM–GM を使うなら通常左右を対にして吸収させるべきだろ
(y－z)2+y(x－1)2+z(x－1)2≥0
この整理で平方根に完全分解
36 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:49:56.537 ID:e5WJKFW5M
>>31
なんかいい感じの式っぽいがスマホポチポチでは確かめられん…
38 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:51:16.175 ID:lkVUIvZba
不等式スレ出身だから3変数対称はヌルすぎるな
なんなら次元揃えてuvw-methodで終わり
41 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:56:50.055 ID:e5WJKFW5M
>>38
そんな魔境が存在するのか
次元揃えるのムズい気がするけどどうなんだろ
46 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:58:43.688 ID:tNaSsCVHa
>>41
よく見たら非斉次か
これはS=x+y+zを固定したら各項1変数だから多分凸不等式でSの式で抑えられるんじゃない？
48 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:00:06.056 ID:U1s3ZYBgr
>>46
先生！SとxあるってことはSexつくれますか！
51 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:03:36.569 ID:e5WJKFW5M
>>48
マイナスエックスはどう読んだものか毎回悩む
49 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:01:11.970 ID:e5WJKFW5M
>>46
凸不等式の利用も考えられるね
ただまずはAM-GMに拘りたい
39 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:52:50.717 ID:TQjw0syVa
出勤中だからやってないが
明日の夜立ててよ
43 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:57:29.698 ID:e5WJKFW5M
>>39
気が向いたら…
42 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:57:10.107 ID:U1s3ZYBgr
スキー場まだ？写真見せてよ
44 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 08:57:46.385 ID:e5WJKFW5M
>>42
まだまだ着かないよ
52 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:06:15.422 ID:AU5J+r5f0
円形ってなんだよ
日本語でたのむ
54 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:11:54.480 ID:e5WJKFW5M
>>52
a→b→c→a→…ってイメージや
53 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:09:42.950 ID:0ycGlja50
数学あるあるbをブロック体で描くやつの猛者感凄いがち
55 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:12:25.966 ID:e5WJKFW5M
>>53
筆記体のb上手く書けない
56 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:13:44.299 ID:U1s3ZYBgr
猛虎弁使うな
58 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:14:36.308 ID:e5WJKFW5M
>>56
最近エッヂに移住してから猛虎弁に抵抗なくなってしまった
60 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:15:19.949 ID:e5WJKFW5M
間違えてた問題でも平方完成使えば解けるのかねぇ
それとも何か反例があるんだろうか
61 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:17:00.419 ID:jp0YGKyxr
二項定理とかのコンビネーション縦に書くのマジで許せん
63 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:22:54.538 ID:e5WJKFW5M
>>61
分かる
nCkでなんの不都合があるのか分からない
65 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:29:13.166 ID:e5WJKFW5M
AM-GMを使うまでもなかった…
66 名前:ひみつの名無しさん 投稿日時:2026/02/10(火) 09:31:59.766 ID:e5WJKFW5M
でも、無理やりAM-GMを使うこともできる
(1/2)(y+x²y) ≧ xy
(1/2)(z+x²z) ≧ xz
足せば主張を得る
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